O caminho mais curto é sempre o mais rápido?

A solução para o problema da braquistócrona, proposta por Johann Bernoulli usando o princípio da luz de Fermat durante a refração. Qual você acha que é o caminho mais rápido para descer uma colina? Todos nós sabemos que uma linha reta é o caminhomais curto, mas o caminho mais curto é sempre o mais rápido?Em nosso mundo, a gravidade é uma grande força que controla a mecânica, e muitos dos nossos problemas são colocados em torno dela. Em muitos videogames, ao atirar em uma longa distância, devemos levar em consideração a descida da bala devido à gravidade. A pergunta de hoje é: qual é o menor tempo que um objeto leva para rolar ou deslizar de um ponto a outro abaixo dele, mas não diretamente abaixo dele.

Pode haver muitos caminhos diferentes criados entre esses dois pontos. Nosso objetivo é encontrar o caminho que levará menos tempo quando influenciado pela gravidade.

Este problema é conhecido como o problema da braquistócrona, que se divide emBrakhistos(grego para menor) e Kronos (grego para tempo), claramente traduzido como o problema do “tempo mais curto”.

Foi originalmente um desafio apresentado por um dos irmãos Bernoulli, Johann Bernoulli, em 1696. Foi um desafio aberto para os matemáticos do mundo da época. Mais importante, foi uma chance para Johann Bernoulli mostrar ao mundo que grande matemático ele era. Ele acreditava ser o melhor matemático da época, então queria que as pessoas soubessem que ele era melhor do que seu irmão, Leibniz, e Isaac Newton, que era bastante velho na época e havia se aposentado da matemática.

Na verdade, Newton aceitou o desafio, embora não gostasse de ser desafiado por alguém que considerava abaixo dele. Dito isso, Newton basicamente considerava todos abaixo dele.

Assim, Isaac Newton resolveu o problema em uma única noite e o enviou anonimamente para publicação. Bernoulli mais tarde afirmou que sabia que a solução vinha de Newton ao dizer “Eu reconheço o leão por sua garra”. Embora Newton tenha resolvido o problema, a solução de Bernoulli foi única, inteligente e surpreendentemente simples. É provavelmente por isso que ele queria desafiar matemáticos como Newton em primeiro lugar. Agora, vamos passar longe da fofoca quente do 17ºséculo e tentar entender este problema com mais detalhes.

Galileu pensou na questão muito antes de Bernoulli colocá-la como um desafio; ele acreditava que a resposta era o arco de um círculo.

Se o caminho fosse uma linha reta (Caminho 1), a bola caindo é acelerada pela gravidade mais lentamente do que quando está caindo diretamente. Além disso, se o caminho estava caindo verticalmente e depois viajando horizontalmente (Caminho 2), a bola atinge alta velocidade no início, mas deve continuar sua jornada com a mesma velocidade.

Portanto, precisamos de um caminho que equilibre o ser curto como a linha reta, bem como a alta velocidade do caminho 2.

Galileu estava definitivamente indo na direção certa quando deu alguma curvatura ao caminho, mas ele estava errado em sua resposta. Embora o caminho seja curvo, não é o arco de círculo o mais rápido.

Vamos falar um pouco mais sobre círculos. Nós os vemos em tudo, desde uma pizza até o mapa do motorista do Uber e um satélite orbitando ao redor da Terra. Os círculos são mais conhecidos por rolar, embora outras formas possam rolar em superfícies diferentes; apenas os círculos podem rolar suavemente em caminhos retos. Se você marcar um ponto na circunferência de um círculo e deixar o círculo rolar, o caminho seguido por esse ponto é conhecido como ciclóide. A resposta à nossa grande pergunta hoje é – um ciclóide!

Solução de Bernoulli

Bernoulli pensou em uma ótima maneira de resolver esse problema – usando os princípios da luz!

O princípio de Fermat, também conhecido como princípio do menor tempo, afirma que o caminho percorrido por um raio entre dois pontos dados é o caminho que pode ser percorrido em menos tempo. Como nosso problema aqui exige exatamente isso, Bernoulli decidiu criar um análogo do sistema de gravidade de partículas em termos de luz.

Refração

Refração é a curvatura da luz quando ela viaja de um meio transparente para outro. É o princípio que governa as lentes, lupas, arco-íris e até mesmo nossos olhos.

Diferentes meios transparentes, como ar, vidro e água têm diferentes índices de refração característicos. A luz refrata sempre que viaja em um ângulo em uma substância com um índice de refração diferente. A mudança de direção é causada por uma mudança na velocidade da onda de luz. Por exemplo, quando a luz se move do ar para a água, ela desacelera, fazendo com que continue a viajar em um ângulo ou direção diferente

A lei de Snellé dada pela relação entre o caminho percorrido pela luz ao cruzar a superfície que separa duas substâncias diferentes em contato e a velocidade da luz em cada substância.

Na figura,v1ev2representa a velocidade de luz nos dois meios.são os ângulos de incidência e refração que o raio faz com a linha normal (perpendicular) no limite. A lei de Snell declara

Lei de Snell (crédito da foto: Sansanorth / Shutterstock)

Para a partícula em queda, devido à conservação de energia, a distância do topo é diretamente proporcional à raiz quadrada da velocidade.

Análogo a uma partícula em queda, Bernoulli levou a luz viajando através de meios de diferentes índices de refração. Isso significava que a luz se moveria em velocidades diferentes conforme viajava ao longo do caminho. E ele ordenou o sistema de mídia de forma que a luz se movesse com velocidade crescente, proporcional à raiz da distância do topo à medida que ‘caía’, assim como a partícula.

Visto que nosso sistema clássico de gravidade-partícula é contínuo, devemos entender este problema como um caso simplificado de um sistema com mudança contínua na mídia. Algo mais parecido com a imagem a seguir.

Portanto, neste modelo, a luz segue a lei de Snell em cada interface e segue o princípio do menor tempo em todas as partes. Isso significa que, para um sistema contínuo, a luz deve obedecer à lei de Snell em todos os pontos do caminho. Assim, se descobrirmos o caminho percorrido pela luz neste sistema, será igual ao caminho de menor tempo percorrido pela partícula.

A equação que satisfaz essa condição é a equação de um ciclóide. Isso éem cada ponto da linha.

Portanto, o ciclóide é o caminho mais rápido possível e é a solução para o problema da braquistócrona.

A linha vermelha no seguinte GIF mostra um ciclóide. Observe como ele carrega a partícula mais rápido do que os outros caminhos.

(Crédito da foto: Robert ferréol / Wikimedia Commons)

É surpreendente que esta curva particular, que é uma ciclóide, seja o caminho mais rápido. Não é uma linha reta, que é a mais curta, nem um caminho parecido com um penhasco que traz velocidade máxima muito rápida. No entanto, aqui está algo alucinante, a curva de braquistócrona também é conhecida como curva de tautócrona. Isso significa que, de qualquer ponto da curva em que você libera a partícula, ela chegará ao fim ao mesmo tempo!

(Crédito da foto: Claudio Rocchini / Wikimedia Commons)

Essa solução é uma das coisas mais elegantes de toda a física. A ideia de usar a luz para entender algo tão simples como um objeto em queda é fascinante e prova ser extremamente útil. A grande ideia de Bernoulli realmente provou ser uma lenda entre os matemáticos do século 17.