Os computadores calculam o valor de Pi em até trilhões de dígitos usando fórmulas de séries infinitas que foram desenvolvidas por matemáticos.

O filme ‘Life of Pi’ foi lançado em 2012. Naquela época, havia uma cena no filme que sempre me intrigava. É a parte em que Piscine Patel tenta e consegue, para estabelecer a forma abreviada de seu nome para ‘Pi’. Lembro-me de pensar sempre que o via: “Então, ele escreveu centenas de dígitos , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCno quadro, é fácil. Você continua dividindo 22 por 7 em sua cabeça. Eu poderia ter feito isso! ”

Mas à medida que fui crescendo, percebi o quão errado estava. Ele não estava apenas dividindo 22 por 7 em sua cabeça. Ele havia memorizado o valor de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC até centenas de dígitos (veja, isso é impressionante). 22/7 é simplesmente uma aproximação para , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC, e fornecerá apenas um valor preciso até duas casas decimais ( , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC  = 3,14159265 ……. Considerando que, 22/7 = 3,1428571 ……).

 

Como calculamos o valor de Pi?

Digamos que você tenha um círculo (se não, apenas construa um). Meça seu diâmetro usando uma escala e sua circunferência usando um barbante. Agora, se você dividir o valor da circunferência pelo diâmetro, provavelmente obterá o quociente de 3,1415… (aprox.). Você também observará que a divisão não tem fim. Este é um valor denominado Pi ( , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC). Se representarmos isso matematicamente,

Circunferência do círculo = 2 , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC r

Diâmetro do círculo = 2 r

Então, Circunferência / Diâmetro = (2 , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC r) / (2 r) =, Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC

círculo com rótulos para raio, diâmetro e circunferência (Criação Morphart) s

Circunferência e diâmetro do círculo (Crédito da foto: Morphart Creation / Shutterstock)

O método de medição usado acima é como os babilônios e gregos o descobriram há milhares de anos. Desde então, muitas aproximações foram feitas sobre o valor desse número.

No entanto, mesmo hoje, quando calculamos cerca de 2,7 trilhões de dígitos de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC, não estamos nem perto do valor preciso. Vários livros usam a fração 22/7 como o valor de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC, mas mesmo isso é simplesmente uma aproximação (na verdade, 22/7 está mais próximo do valor real do , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCque 3,14).

Por que não temos o valor preciso de Pi?

A verdade é que não sabemos o valor preciso de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC porque é um número irracional.

Um número irracional é um número que não pode ser representado na forma de uma fração. Os dígitos após o decimal são intermináveis ​​e não recorrentes, ou seja, eles não aparecem em uma sequência particular. Essa também é a razão pela qual 22/7 é apenas uma aproximação , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC e não seu valor real.

Símbolo de série matemático de Pitágoras (Mark Rademaker) S

Os dígitos de Pi são intermináveis ​​(Crédito da foto: Mark Rademaker / Shutterstock)

Agora, se nem sabemos todos os dígitos de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC, como os computadores são capazes de calculá-los para nós? Afinal, os computadores são programados pelos próprios humanos, certo?

A resposta é sim, os computadores são programados por humanos. Mas precisamos entender exatamente como os computadores funcionam, a fim de descobrir essa resposta.

Como funcionam os computadores?

Os computadores funcionam basicamente com algoritmos. Um computador é simplesmente uma máquina. E uma máquina não toma decisões por conta própria como nós. Ele funciona de acordo com um conjunto de instruções ou etapas que alimentamos nele. E segue esses conjuntos de instruções até que mandemos parar. Claro, não seria capaz de parar por conta própria, uma vez que não tem a capacidade de tomar essa decisão.

Além disso, lembre-se de que , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCé um número com casas decimais infinitas. Isso significa que, se quisermos calcular o valor de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCusar um computador, ele terá que seguir um conjunto de instruções um número infinito de vezes, já que os dígitos de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCcontinuam indefinidamente.

Então, isso significa que, se de alguma forma, somos capazes de descobrir esse conjunto de instruções que geram o valor preciso de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCse ele for computado um número infinito de vezes, então o computador pode fazer todo o cálculo sozinho. E continuará calculando até darmos a instrução para parar.

Qual é o algoritmo para nosso cálculo?

No nosso caso, esse conjunto de operações é chamado de série infinita. Uma série infinita é uma sequência infinita de valores que seguem uma regra específica.

Por exemplo, temos a série

1/2, 1/4, 1/8 …….

Cada termo aqui é multiplicado pela metade do termo anterior.

Se os adicionarmos,

, Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC

Isso é denominado como uma série infinita. Pode ser escrito resumidamente usando o símbolo ‘sigma’: –

, Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC

Nesse caso, a adição de todos os termos S equivale a 1. Caso você esteja confuso sobre como pode ser 1, aqui está uma ilustração da prova:

Frações unitárias desenhadas como porções de um quadrado.  Um dividido pelos primeiros seis poderes de dois (Peter Hermes Furian) S

Prova da soma da série (Crédito da foto: Peter Hermes Furian / Shutterstock)

Agora, se formos capazes de encontrar uma série infinita tal que o valor de ‘S’ na equação acima seja igual a pi, teremos encontrado um algoritmo para gerar o valor de pi. Depois disso, tudo o que precisamos fazer é alimentar esse algoritmo no computador.

Existem inúmeras séries hoje que são usadas para gerar o valor de pi. Uma das séries mais conhecidas e simples de calcular , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCé a Série Gregory-Leibniz:

, Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC

Com esta série, você poderá calcular , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC/ 4 exatamente. Então, se você multiplicar isso por 4, terá o valor de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC. O único problema com esta série é que ela não é muito eficiente. Você terá que adicionar muitos termos se quiser obter um valor preciso (cerca de 300 termos para calcular até 2 casas decimais). É um trabalho muito demorado, mesmo para um computador.

Outra série que é mais eficiente do que a fornecida acima é a Série Nilakantha: –

, Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC

Essas são apenas algumas das fórmulas mais simples que podem ser usadas para calcular , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC. Existem outras séries mais eficientes desenvolvidas por matemáticos que podem ser usadas para calcular esse valor usando computadores – como o algoritmo de Brent e Salamin.

Imagine uma série infinita extremamente eficiente e um computador super rápido. É assim que o valor de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCfoi calculado para trilhões de dígitos hoje. O recorde mundial para calcular o maior número de dígitos de , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABC é detido por Timothy Mullican. Ele calculou 50 trilhões de dígitos , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCem seu computador pessoal (em 30 de janeiro de 2020).

Certamente avançamos muito, desde o cálculo manual desse valor até o uso de computadores superlentos na década de 1950 (que eram, na verdade, os computadores mais eficientes da época), até hoje, onde os computadores podem calcular , Como os computadores calculam os dígitos de Pi ?, Science ABC, Science ABCem meros segundos.

Referências:

  1. UMass Boston
  2. Exploratorium
  3. Universidade de Toronto
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