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Como os computadores calculam os dígitos do Pi?

 Os computadores calculam o valor de Pi em até trilhões de dígitos usando fórmulas de séries infinitas que foram desenvolvidas por matemáticos.

O filme ‘Life of Pi’ foi lançado em 2012. Naquela época, havia uma cena no filme que sempre me intrigava. É a parte em que Piscine Patel tenta e consegue, para estabelecer a forma abreviada de seu nome para ‘Pi’. Lembro-me de pensar sempre que o via: “Então, ele escreveu centenas de dígitos
no quadro, é fácil. Você continua dividindo 22 por 7 em sua cabeça. Eu poderia ter feito isso! ”

Mas à medida que fui crescendo, percebi o quão errado estava. Ele não estava apenas dividindo 22 por 7 em sua cabeça. Ele havia memorizado o valor de 

até centenas de dígitos (veja, isso é impressionante). 22/7 é simplesmente uma aproximação para , e fornecerá apenas um valor preciso até duas casas decimais ( = 3,14159265 ……. Considerando que, 22/7 = 3,1428571 ……).

 

Como calculamos o valor de Pi?

Digamos que você tenha um círculo (se não, apenas construa um). Meça seu diâmetro usando uma escala e sua circunferência usando um barbante. Agora, se você dividir o valor da circunferência pelo diâmetro, provavelmente obterá o quociente de 3,1415… (aprox.). Você também observará que a divisão não tem fim. Este é um valor denominado Pi ( 

). Se representarmos isso matematicamente,

Circunferência do círculo = 2  r

Diâmetro do círculo = 2 r

Então, Circunferência / Diâmetro = (2  r) / (2 r) =

Circunferência e diâmetro do círculo (Crédito da foto: Morphart Creation / Shutterstock)

O método de medição usado acima é como os babilônios e gregos o descobriram há milhares de anos. Desde então, muitas aproximações foram feitas sobre o valor desse número.

No entanto, mesmo hoje, quando calculamos cerca de 2,7 trilhões de dígitos de , não estamos nem perto do valor preciso. Vários livros usam a fração 22/7 como o valor de , mas mesmo isso é simplesmente uma aproximação (na verdade, 22/7 está mais próximo do valor real do que 3,14).

Por que não temos o valor preciso de Pi?

A verdade é que não sabemos o valor preciso de  porque é um número irracional.

Um número irracional é um número que não pode ser representado na forma de uma fração. Os dígitos após o decimal são intermináveis ​​e não recorrentes, ou seja, eles não aparecem em uma sequência particular. Essa também é a razão pela qual 22/7 é apenas uma aproximação  e não seu valor real.

Os dígitos de Pi são intermináveis ​​(Crédito da foto: Mark Rademaker / Shutterstock)

Agora, se nem sabemos todos os dígitos de , como os computadores são capazes de calculá-los para nós? Afinal, os computadores são programados pelos próprios humanos, certo?

A resposta é sim, os computadores são programados por humanos. Mas precisamos entender exatamente como os computadores funcionam, a fim de descobrir essa resposta.

Como funcionam os computadores?

Os computadores funcionam basicamente com algoritmos. Um computador é simplesmente uma máquina. E uma máquina não toma decisões por conta própria como nós. Ele funciona de acordo com um conjunto de instruções ou etapas que alimentamos nele. E segue esses conjuntos de instruções até que mandemos parar. Claro, não seria capaz de parar por conta própria, uma vez que não tem a capacidade de tomar essa decisão.

Além disso, lembre-se de que é um número com casas decimais infinitas. Isso significa que, se quisermos calcular o valor de usar um computador, ele terá que seguir um conjunto de instruções um número infinito de vezes, já que os dígitos de continuam indefinidamente.

Então, isso significa que, se de alguma forma, somos capazes de descobrir esse conjunto de instruções que geram o valor preciso de se ele for computado um número infinito de vezes, então o computador pode fazer todo o cálculo sozinho. E continuará calculando até darmos a instrução para parar.

Qual é o algoritmo para nosso cálculo?

No nosso caso, esse conjunto de operações é chamado de série infinita. Uma série infinita é uma sequência infinita de valores que seguem uma regra específica.

Por exemplo, temos a série

1/2, 1/4, 1/8 …….

Cada termo aqui é multiplicado pela metade do termo anterior.

Se os adicionarmos,

Isso é denominado como uma série infinita. Pode ser escrito resumidamente usando o símbolo ‘sigma’: –

Nesse caso, a adição de todos os termos S equivale a 1. Caso você esteja confuso sobre como pode ser 1, aqui está uma ilustração da prova:

Prova da soma da série (Crédito da foto: Peter Hermes Furian / Shutterstock)

Agora, se formos capazes de encontrar uma série infinita tal que o valor de ‘S’ na equação acima seja igual a pi, teremos encontrado um algoritmo para gerar o valor de pi. Depois disso, tudo o que precisamos fazer é alimentar esse algoritmo no computador.

Existem inúmeras séries hoje que são usadas para gerar o valor de pi. Uma das séries mais conhecidas e simples de calcular é a Série Gregory-Leibniz:

Com esta série, você poderá calcular / 4 exatamente. Então, se você multiplicar isso por 4, terá o valor de . O único problema com esta série é que ela não é muito eficiente. Você terá que adicionar muitos termos se quiser obter um valor preciso (cerca de 300 termos para calcular até 2 casas decimais). É um trabalho muito demorado, mesmo para um computador.

Outra série que é mais eficiente do que a fornecida acima é a Série Nilakantha: –

Essas são apenas algumas das fórmulas mais simples que podem ser usadas para calcular . Existem outras séries mais eficientes desenvolvidas por matemáticos que podem ser usadas para calcular esse valor usando computadores – como o algoritmo de Brent e Salamin.

Imagine uma série infinita extremamente eficiente e um computador super rápido. É assim que o valor de foi calculado para trilhões de dígitos hoje. O recorde mundial para calcular o maior número de dígitos de  é detido por Timothy Mullican. Ele calculou 50 trilhões de dígitos em seu computador pessoal (em 30 de janeiro de 2020).

Certamente avançamos muito, desde o cálculo manual desse valor até o uso de computadores superlentos na década de 1950 (que eram, na verdade, os computadores mais eficientes da época), até hoje, onde os computadores podem calcular em meros segundos.

Referências:

  1. UMass Boston
  2. Exploratorium
  3. Universidade de Toronto
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Gilvan Alves

23 Anos de idade, Técnico em Rede de Computadores, Sempre em busca de aprender algo novo todos os Dias!

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