Uma linha reta é sempre a menor distância entre dois pontos?

4 semanas ago
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Uma linha reta é sempre a menor distância entre dois pontos?

Não, uma linha reta nem sempre é a menor distância entre dois pontos. A menor distância entre dois pontos depende da geometria do objeto / superfície em questão.Para superfícies planas, uma linha é, de fato, a menor distância, mas para superfícies esféricas, como a Terra, as distâncias de grandes círculos representam realmente a verdadeira menor distância.

Todos nós fomos ensinados desde cedo que “uma linha é a menor distância entre dois pontos”. No entanto, e se alguém lhe dissesse que esse ditado consagrado não era exatamente verdadeiro – sua realidade seria capaz de lidar com isso?

Como se vê, a afirmação é apenas parcialmente verdadeira. A menor distância entre dois pontos, na verdade, depende da geometria do objeto em questão.

Se estivéssemos vivendo em uma terra plana (o que não fazemos ), então sim, uma linha reta seria a menor distância entre os pontos A e B. No entanto, a Terra é uma esfera aproximada e a menor distância entre dois pontos no superfície de uma esfera é um arco conhecido como ‘a grande distância do círculo’.

Grande distância do círculo

Grande distância do círculo não é um conceito novo; de fato, muitos de vocês já viram isso em ação.

As pessoas que viajaram por via aérea ou apenas verificaram rotas de voo provavelmente notaram que os voos não seguem um caminho direto, mas seguem uma rota curva para seu destino. As rotas curvas não são utilizadas para cavar um buraco mais profundo nos bolsos dos passageiros, mas são usadas porque na verdade são a menor distância entre os dois locais no planeta.

Essas rotas curvas geralmente são confusas, pois as rotas são descritas em um mapa bidimensional plano, onde uma linha reta pode parecer a menor distância. No entanto, nenhum mapa bidimensional da Terra é preciso. Nem aquele que crescemos aprendendo, o mesmo que você encontraria nos mapas do Google.

Para dar a você a essência, nossa amada Terra é um espaço tridimensional e é melhor representada usando um globo modelo. No entanto, quando se tenta achatar a esfera em uma forma retangular, como a maioria dos mapas, o antigo dilema de distorção aparece nos holofotes. A maioria dos mapas retangulares comercializa formatos, tamanhos, distância intermediária e até informações legítimas, para facilitar o entendimento. Para mais detalhes sobre esse assunto.

Imagine que você deseja voar das profundezas infestadas de ratos da cidade de Nova York para a cidade do amor, Paris. Em um globo, a menor distância entre as duas cidades seria um arco de aproximadamente 3.630 milhas, mas o mesmo arco, quando projetado em um mapa 2D, se transforma em uma linha reta medindo aproximadamente 3.750 milhas.

Para confirmar isso, abra o Google Maps em uma guia adjacente e pesquise Nova York. Uma vez encontrado, clique com o botão direito do mouse na etiqueta de nome e selecione “medir distância”. Em seguida, diminua o zoom ou role um pouco para a direita para encontrar Paris e clique nela. A seguinte distância será uma curva, representando a menor distância entre as duas cidades. Clique em qualquer lugar nesta curva para criar um quadro-chave e arraste-o um pouco em direção ao sul para converter a curva em uma linha reta. Você pode usar vários quadros-chave para compor uma linha reta de algum tipo entre os dois locais. Após a conclusão, compare as dimensões da curva e a linha reta (e prepare-se para que sua realidade seja destruída!).

mapa da terra Grande distância do círculo Vs distância da linha reta

Grande distância do círculo x distância da linha reta

A diferença entre os dois números (3.750 – 3.630 = 120 milhas) pode não parecer grande coisa, mas considerando o fato de um Boeing 747 consumir uma média de 5 galões de combustível por milha de vôo ( fonte ), o avião exigiria um adicional (5 galões / milha × 120 milhas =) 600 galões (2250 litros) para percorrer a distância extra, o que é muito importante e aumentaria o custo das passagens de avião.

Grande distância do círculo em termos matemáticos

Falando em termos puramente matemáticos, um grande círculo (também conhecido como geodésica das esferas) é qualquer círculo desenhado em uma esfera cujo centro coincide com o centro da esfera e, portanto, divide a esfera em duas metades iguais. Em termos mais simples, um grande círculo é o maior círculo que pode ser esculpido em uma esfera. Um pequeno círculo, por outro lado, é quando o centro do círculo e a esfera não coincidem.

Imagine (ou apenas verifique a imagem abaixo) cortando a Terra ao longo do equador ou dos pólos. Os hemisférios resultantes em ambos os casos seriam iguais e as faces desses hemisférios teriam o mesmo diâmetro e centro que a própria esfera (Terra).

Equador da Terra

Cortar pela metade a Terra ao longo do equador ou dos pólos resulta em grandes círculos.

Para quaisquer dois pontos não diamétricos (localizações) em uma esfera (Terra), existe apenas um grande círculo único, enquanto que para pontos diamétricos em uma esfera, um número infinito de grandes círculos pode ser desenhado. Esses pontos dividem o círculo em dois arcos; o arco menor representa a verdadeira menor distância entre os dois pontos e é chamado de distância do grande círculo.

Na imagem abaixo, os pontos P e Q são dois pontos não diamétricos e o arco PQ representa a menor distância entre os dois (grande distância do círculo). Os pontos u e v, por outro lado, são conhecidos como pontos antipodais ou diametralmente opostos e dividem o grande círculo em dois arcos idênticos.

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O arco PQ representa a menor distância entre os dois pontos. (Crédito da foto: CheCheDaWaff / Wikimedia Commons)

O cálculo da grande distância do círculo entre dois pontos na superfície de uma esfera requer o uso de trigonometria esférica e, embora possamos não estar familiarizados com a existência de grandes distâncias do círculo nos dias de escola, o ódio de todos por senos e cossenos é um fato bem conhecido.

fórmula do círculo

Aqui, d é a grande distância do círculo, r é o raio da esfera (Terra) e o termo cos -1 (cos σ 1 .cos σ 2 .cos (λ 1 – λ 2 ) + sin σ 1 .sin σ 2 ) é o ângulo central subtendido pelos dois pontos com coordenadas σ 1 , λ  e σ 2 , λ  respectivamente.

Palavras finais

Como afirmado anteriormente, os grandes círculos encontram sua aplicação principal nas viagens de longa distância, principalmente na navegação aérea e naval. A natureza curvada das grandes distâncias circulares, complementada pela rotação do nosso planeta, faz com que pilotos e marinheiros ajustem seu curso constantemente. Uma grande distância do círculo é, portanto, dividida em ‘Linhas de Rhumb’, que representam uma direção constante.

Dito tudo isso, mesmo grandes distâncias circulares não representam a verdadeira menor distância entre dois locais. As grandes distâncias do círculo são calculadas assumindo que a Terra é uma esfera perfeita, mas o planeta é mais uma esfera achatada com diferentes valores de raio em direção ao equador e aos pólos. Os grandes valores do círculo têm assim uma tolerância de cerca de ± 5%.

No entanto, grandes distâncias circulares desempenharam um papel enorme nas viagens de longa distância nos últimos anos e continuarão a fazê-lo, economizando combustível nas companhias aéreas e economizando dinheiro para os viajantes!

Referências:

  1. CUNY
  2. Universidade de Illinois Urbana-Champaign
  3. Universidade Estadual da Pensilvânia
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