Qual é a equação da onda?
Quando um guitarrista arranca uma corda, você pode imaginar algo muito simples acontecendo: as extremidades da corda são fixadas no lugar, enquanto o meio da corda é livre para se mover, o que faz a corda vibrar para frente e para trás. A verdade, no entanto, é muito mais complicada do que isso. Uma pista para isso pode vir do fato de que uma guitarra e um piano soam notavelmente diferentes. No entanto, não é apenas a forma ou o design desses instrumentos que os fazem parecer diferentes. A coisa que devemos considerar em primeiro lugar é como as cordas vibram.
Tudo sobre a vibração
(Crédito da foto: DECHAMMAKL / Wikimedia Commons)
Uma forte influência no som de qualquer instrumento não é apenas o movimento ascendente da corda, que é visível a olho nu. A fotografia de alta velocidade revelou que as cordas realmente têm uma amplitude de movimento extremamente complexa. A riqueza do som vem do fato de que, em qualquer solução particular, há um número infinito de soluções fundamentais para a equação, que podem ser combinadas para formar algo como uma “super-solução”, na qual todas as variações possíveis de a corda acontece junto. A solução primária é o que os físicos chamam deparciaisou o que os músicos em seus dialetos musicais chamam deharmônicosouharmônicos.
(Crédito da foto: BrentHFoster / Wikimedia Commons)
Você pode ter uma idéia mais intuitiva e prática disso, encontrando um amigo e entregando-lhe uma extremidade de uma corda longa e leve. Alongue-se, cada um de vocês tendo um fim tal que a corda não toque o chão, mas também não esteja muito esticada. Mova suas mãos de tal maneira que a corda comece a se assemelhar ao movimento de uma corda de pular. Esta é uma solução fundamental. Agora, mova suas mãos duas vezes mais rápido, e você será capaz de observar um novo padrão, com a corda mal se movendo em seu centro exato, mas vibrando com entusiasmo entre os pontos centrais e suas mãos. O ponto em que não está se movendo é chamado denó. Você pode achar que, movendo suas mãos ainda mais rapidamente, você pode produzir outros padrões de vibrações também. Cada uma dessas é outra solução fundamental para a equação de onda.
(Crédito da foto: Oleg Alexandrov / Wikimedia Commons)
Equação de onda
A equação de onda é simplesmente sobre instrumentos musicais. Aplica-se igualmente bem às ondas eletromagnéticas e ondas nos fluidos. Ele funciona para ondas estacionárias, como aquelas produzidas por uma corda de violão, assim como ondas que viajam como as ondulações de uma lagoa. A equação é tão boa em trabalhar com ondas de choque causadas por vulcões e terremotos quanto com ondas de raios-X. Também desempenha um papel vital nas partículas fundamentais da nossa existência e, por extensão, desempenha um papel crucial na mecânica quântica. A equação de onda acima é bastante geral, pois funciona em qualquer número de dimensões. Para investigar a ideia mais detalhadamente, vamos revisitar nossa analogia de corda discutida anteriormente envolvendo você e um amigo. Qualquer ponto na corda pode ser marcado como x. Quando a corda é apertada, todos esses pontos estão em linha reta na mesma altura;u,onde a altura inicial u = 0. Finalmente, queremos observar a tecelagem de ondas, que requer tempo, e chamaremos isso det. Agora poderemos construir uma funçãoucomxetcomo parâmetros de entrada e chamá-la u (x, t).
Agora, usando a função u (x, t), podemos saber tudo sobre a onda; dada qualquer posição ao longo da corda (x) e um tempo (t), poderemos dizer o quão alto um ponto pode ser a qualquer momento. A partir disso, podemos reconstruir a aparência da corda a qualquer momento e repetir isso para momentos diferentes. Encontrar a função u (x, t) é o que queremos dizer encontrando uma solução para a função de onda. No lado esquerdo da equação está a taxa de variação de u em relação a t. Consertar qualquer ponto x pode nos dizer como o ponto está acelerando no momento. À direita está o laplaciano de v. Isso mostra como, se congelarmos o tempo, a altura está variando perto de cada ponto.
O operador laplaciano (o triângulo invertido) é multiplicado por c2; c em si é a velocidade na qual a onda se move através do material. De qualquer maneira, a quadratura faz com que as unidades concordem em ambos os lados da equação, o que é essencial. Encontrar uma solução para a equação-que onda é, para a função u (x, t) que torná-lo real, era um problema necessária na 18ªséculo que motivou algumas pesquisas matemáticas fundamentais. As diferentes maneiras pelas quais você pode esticar a corda para vibrar são soluções viáveis. Acontece que elas podem ser modeladas usando ondas senoidais – funções simples que modelam o movimento oscilante. Uma onda senoidal acústica parece pura e simples, muito parecida com uma flauta. O famoso matemático Fourier teve a idéia de que, se você tiver soluções para a Equação de onda, poderá criar muitas novas simplesmente adicionando múltiplos do que você já tem. Isso produz muitas soluções mais complexas, que representam maneiras pelas quais a corda pode vibrar se você puder persuadi-la a fazê-lo. Em conclusão, qualquer onda concebível na natureza pode ser gerada pela soma de várias ondas senoidais da equação de onda, permitindo-nos estudá-las e compreendê-las melhor.
(Crédito da foto: Oleg Alexandrov / Wikimedia Commons)
