O que exatamente é cálculo e como podemos usá-lo na vida cotidiana?
A maioria das pessoas teme o ‘cálculo’ do mundo, e com uma boa razão … é o material dos pesadelos da escola! É um assunto que mantém as pessoas acordadas durante a noite há séculos, com seus métodos confusos para chegar a soluções. No entanto, estou aqui para lhe dizer o contrário. Cálculo pode realmente ser divertido de entender e valorizar se formos introduzidos aos seus fundamentos sob uma nova luz. Vamos começar este trem de entendimento com a divertida experiência histórica deste assunto complexo.
História do Cálculo
O cálculo foi inventado por duas lendas da comunidade científica:Sir Isaac NewtoneGottfried Wilhelm Leibniz.
(Crédito da foto: Wikimedia Commons)
Sir Isaac Newtoné conhecido como o pai da mecânica clássica e um dos maiores físicos de todos os tempos. Ele é reconhecido como famoso pelas leis do movimento e pela lei da gravidade, mas a maior invenção matemática de Newton passou a ser o cálculo. Newton se matriculou no Trinity College de Londres, em Cambridge, em 1661. No entanto, em 1667, o colégio foi forçado a fechar devido às precauções tomadas para a peste bubônica. Durante esse período, Newton, de 22 anos, tentava resolver problemas de física, mas precisava inventar um método dinâmico de matemática que pudesse explicar suas teorias sobre a gravidade, as leis dos movimentos e por que os planetas viajavam em reticências.
Ele queria explicar a velocidade de um objeto em qualquer instante e a razão pela qual os planetas giravam em reticências. Era fácil trabalhar em problemas que tinham um gráfico muito linear, mas surgiram problemas quando a linha ou curva estava mudando constantemente. Para superar isso, Newton inventou uma equação que forneceria a inclinação de qualquer ponto em qualquer curva em qualquer instante da curva.
A equação acima é o que levou ao nascimento doCálculo Diferencial.
(Crédito da foto: Wikimedia Commons)
Gottfried Wilhelm Leibniznasceu na Alemanha em 1646 e era extremamente dotado quando criança, mas, curiosamente, seus primeiros interesses eram filosofia e teologia. Ele tinha 18 anos quando se formou com mestrado em filosofia. Dentro de um ano de estudos jurídicos, ele foi premiado com um Bacharel em Direito. Foi um amigo seu que o encorajou a considerar a matemática depois de obter seu diploma de direito. Em 1674, Leibniz começou a trabalhar em cálculo. Sua abordagem foi que a integral era a soma das ordenadas (eixo Y) para intervalos infinitesimais na abscissa (eixo X).
A equação acima levou ao nascimento formal docálculo integral.
No entanto, permanece claro quem pode ser considerado o “Pai do Cálculo”. Embora tenha sido Newton quem conceituou o cálculo em sua forma moderna, foi Leibniz quem publicou o primeiro trabalho sobre cálculo. Hoje, é amplamente aceito que ambos eram descobridores independentes de cálculo.
O que é cálculo diferencial e integral? Como eles estão conectados?
Antes de entrarmos nas diferenças entre cálculo diferencial e integral, devemos primeiro entender o que é uma função. Umafunçãoé uma relação especial em que qualquer entrada possui uma saída exclusiva.
Por exemplo, vamos pegar a funçãof(x) = x + 1. Agora, se tomarmos três valores exclusivos para “x”, digamos -1, 0 e 5, obtemos as saídas exclusivas de 0, 1 e 6, respectivamente.
Cálculo Diferencialé o subcampo de cálculo relacionado com a taxa de variação de quantidades. O principal uso do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. A derivada de uma função fornece a taxa de mudança de uma função para uma determinada entrada. Vamos considerar um exemplo para entender isso um pouco melhor. O processo de encontrar um derivado é conhecido comodiferenciação.
Vamos pegar uma função chamadaf(x). Agora, vamos supor quef(x) seja igual a x2. O gráfico para x2é mostrado abaixo.
Claramente, do gráfico acima, podemos ver a representação geométrica de uma derivada. A partir da imagem, podemos avaliar que a derivada de um ponto é um declive ou uma tangente nesse ponto, desde que a derivada exista e seja definida nesse ponto.
Cálculo Integrallida com os conceitos matemáticos deIntegrais. Uma integral é um objeto matemático que pode ser interpretado como a área sob uma curva. OIntegral de Riemanné ointegralmais simples e básico.
Existem dois tipos de integrais, sendo um deles aintegral definidae o outro aintegral indefinida. A integral definida é uma integral que possui limites superior e inferior; no final, dá um número – uma resposta definitiva – como solução. A integral indefinida não tem limites e sempre dá uma resposta em termos de uma variável. Integrais indefinidos são também chamados deAntiderivados.
A beleza do cálculo reside no fato de que existe uma ligação entre ocálculo diferenciale ocálculo integral,conhecido como oTeorema Fundamental do Cálculo.
Para entender esse elo fundamental, tomemos uma abordagem geométrica. Agora, conforme mostrado claramente no diagrama, uma área específica sob a curva que é segmentada fica entreaeb. A área entreumebseria indicado pelaFórmula Riemann.
Agora, se fôssemos tomar qualquer pontoxentreumeb,então a área resultante sob a curva seria:
Agora deixe esta área entrexeaser denotada por F (x), onde x é o intervalo [a, b]. A equação abaixo também é conhecida como aprimeira forma do Teorema Fundamental do Cálculo.
OTeorema Fundamental do Cálculonos diz que se tomarmos a derivada de F (x) no lado esquerdo, então o lado direito é igual a f (x) para qualquer função contínua. A equação abaixo é conhecida como asegunda forma do Teorema Fundamental do Cálculo.
O Teorema Fundamental do Cálculo nos mostra que a Integração e a Diferenciação estão intimamente ligadas umas às outras. Na verdade, eles são considerados operações inversas uns com os outros!
Aplicações do cálculo
A beleza do cálculo não está contida apenas na matemática; O cálculo também é usado para descrever a natureza dinâmica do nosso mundo. Cálculo é a linguagem do movimento e da mudança. Se uma quantidade ou sistema está mudando, podemos usar a modelagem matemática do Cálculo para nos ajudar aanalisar, otimizarepreverdiferentes parâmetros do sistema. Agora, vamos dar uma olhada em dois campos diversos em que o cálculo é constantemente implementado.
No setoraeroespacial,um campo-chave de engenharia, a matemática desempenha um papel primordial. Uma das áreas em que é usado é modelar o movimento de um foguete. O impulso de um foguete para o espaço é o cálculo do movimento, que é denominado momentum, onde m é massa e v é a velocidade do objeto.
A segunda e terceira leis do movimento enquadradas por Newton são aplicadas. A maioria dos foguetes trabalha com o princípio da massa variável, o que pode fazer você se perguntar como a massa de um foguete é variável?
A massa de um foguete diminui com o tempo enquanto o combustível queima. Quando o foguete se acende, ele experimenta uma aceleração muito grande em direção ao solo, que impulsiona o foguete para a frente, de acordo com a terceira lei do movimento. A força que empurra o foguete para cima é chamada de empuxo. O impulso pode ser definido como a taxa de mudança de momento. É também a primeira derivada do momentum.
Após o lançamento, para escapar das forças gravitacionais da Terra, a massa do foguete deve ficar o menor possível, de modo que o foguete solte suas diferentes partes em diferentes estágios.
O cálculo também é extremamente útil emmedicina. Os médicos usam o cálculo para ajudar a determinar a taxa de crescimento dos tumores. Isso pode ser feito pelo seguinte procedimento. Imagine que um paciente tenha um tumor de tamanho pequeno e o médico queira saber a taxa de progressão ou degeneração de um tumor. O modelo matemático utilizado para modelar o crescimento de um tumor pode ser uma função exponencial em relação ao tempo.
Vt =V0*eem
Aqui Vté o volume de um tumor após um determinado período de tempo. V0é o volume inicial de um tumor, e o termoaé uma constante comtsendo o período de tempo. O cálculo pode ser usado diferenciando a equação acima e obtendo a primeira derivada. Isso ajuda o médico a prever a trajetória de crescimento do tumor no futuro.
Podemos ver claramente que o cálculo é criticamente aplicável em campos como medicina e engenharia. No entanto, sua aplicação se estende a outros campos diversos, como a microeconomia, a astrofísica, o mercado de ações e o decaimento radioativo. Qualquer coisa que envolva estudar a taxa de mudança e encontrar uma solução ótima é uma área em que o cálculo pode ser extremamente útil!
