O Infinito Reino Estranho do Infinito: Por Que Infinidades “Diferentes” Existem?

Contra intuitivo e desconcertante, mas verdadeiro: existem tantos números pares quantos existem números naturais, pois ambos são infinitos.No entanto, não há tantos números reais quanto números naturais; na verdade, existem números infinitamente mais reais do que números naturais. Por que a infinidade de números reais é maior que a infinidade de números naturais? Qual é a razão por trás dessa distinção absurda?

Infinito e além

Segundo o paradoxo de Banach-Tarski, é possível dividir uma esfera em cinco partes e remontá-las de maneira peculiar para produzir duas cópias ou réplicas da mesma esfera. Tenha em mente que as peças são remontadas, não esticadas, e ainda assim produzem duas esferas da mesma área, volume e densidade. O paradoxo implica a mais assustadora de todas as atrocidades matemáticas: 1 = 2.

De acordo com o paradoxo de Banach-Tarski, é possível dividir uma esfera 3D sólida em 5 partes e reorganizá-las para formar duas cópias idênticas da esfera original. O paradoxo nos permite criarchocolate infinito. (Crédito da foto: Benjamin D. Esham / Wikimedia Commons)

No entanto, o paradoxo não pode ser realizado no mundo real, mas apenas no reino estranho e fantasmagórico dos infinitos. O paradoxo pressupõe que a esfera não é composta de átomos rígidos, mas pontos, pontos infinitos, cada um dos quais está isento das leis da física, mas não da matemática. E as leis da matemática podem ser profundamente estranhas – estranhas o suficiente para permitir que a soma de todos os números naturais positivos,a soma 0 + 1 + 2., Seja igual a -1/12.

Buzz Lightyear deToy Storyé embaraçosamente incorreto quando ele declara carinhosamente “ao infinito … e além!”. O infinito não tem fim que se possa superar; o fim, de fato, não existe. Se você contar comxe acreditar que alcançou o infinito, adicione um axe você testemunhará o surgimento de um novo e maior infinito. Em seguida, adicione um a esse novo infinito e testemunhe o surgimento de um infinito aindamaior. Divida este infinito por dois e você ainda fica com infinito. Este é o próprio princípio em que se baseia o paradoxo de Banach-Tarski.

Provavelmente, o infinito é considerado como qualquer outro número, uma quantidade denotada por um ‘8’ dormindo em suas costas flexíveis. No entanto, isso não é verdade; oxexiste apenas no abstrato, como uma mera ideia. Como explicado acima, você só pode – desde que tenha o vigor e tempo para contar –abordar oinfinito, mas nunca alcançá-lo. É a natureza paradoxal do infinito que nos frustrou desde a antiguidade; é o mais antigo inimigo do matemático.

No entanto, lidamos apenas com o infinito contável. A infinidade de números naturais éfinitaporque é, pelo menos, insensível, mas prepara-se para brigar com o infinito insondável: incontável – o infinito dos números reais.

Escreva em uma página infinitamente grande uma trilha infinitamente longa de números pares. Replicar esta trilha, mas agora escreva todos os números ímpares entre os números pares. Um matemático afirmaria que, acredite ou não, as duas trilhas são igualmente longas, já que o infinito dividido por dois ainda é infinito.

No entanto, o espaço entre 0 e 1 pode ser dividido em cem partes: 0,01-0,99. Além disso, o espaço entre 0 e 0,01 pode ser dividido em outras centenas de partes: 0,0001-0,0099. De fato, pode-se fazer isso, você adivinhou, um número infinito de vezes.

A noção é tão absurdamente ridícula que os leitores devem perceber agora que existem números mais reais entre 0 e 1 em si do que existem números naturais. Ao realizar a divisão entre cada número natural, descobriríamos que existem números infinitos entre cada número natural, que são infinitos. A trilha resultante seria infinita vezes infinitamente longa. O infinito dos números reais é insondável, na medida em que os matemáticos o chamam de “infinito infinito”.

Matemática infinita – números entre números –

Isso não é matemático; é logicamente consistente. O matemático alemão Georg Cantor foi o primeiro a verificar a incontabilidade de números reais com uma prova rigorosa. O que Cantor basicamente fez foi desenhar duas colunas, uma para números naturais e outra para números reais. O número natural em cada linha foi atribuído ou correspondido a um número real exclusivo. Obviamente, se as linhas forem iguais, os dois infinitos são iguais.

Cantor então realizou o que agora é chamado dediagonalização.Ele incrementou os números reais em um, mas em lugares específicos, de acordo com um algoritmo rigoroso. Se você incrementar a coluna de números reais diagonalmente de uma maneira peculiar, números reais completamente novos e únicos serão produzidos. As duas linhas, ele provou, não são iguais. A infinidade de números reais é, sem dúvida, maior que a dos números naturais.

Diagonalização de Cantor. Cantor combinou com cada número natural até o infinito para cada número real até o infinito, no entanto, a diagonalização levou à produção de novos números reais, portanto, provando que a infinidade de números reais claramente maior que a infinidade de números naturais.

O que me fascina é o enigma de se a natureza realmente permite isso, se esses infinitos realmente existem ou se nós, escravos desamparados da lógica, levamos isso ao seu amargo fim? A lógica e os números realmente existem na natureza ou existem apenas no abstrato, apenas em nossas mentes?