O que é zero levantado para o poder do zero?

1 semana ago
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A função exponencial  é uma operação de auto-multiplicação onde  é multiplicado por si  número de vezes. No entanto, as coisas ficam peculiares quando tentamos determinar o que é. O que não é nada multiplicado por si mesmo zero vezes? Essa sentença faz sentido? Certamente, zero multiplicado por si mesmo qualquer número de vezes é zero, certo? No entanto, nenhum número é elevado a zero igual a um?

Até o século 19, a maioria dos matemáticos concordou, por razões que discutiremos abaixo, que  é igual a 1. No entanto, a dúvida se infiltrou quando Cauchy, uma pedra preciosa de um matemático, agrupou  e  na mesma coluna, a que ele se referiu como “formas indeterminadas”. Então, qual é o seu valor?

É igual a 1?

Um estudante inteligente pode citar esta prova para provar essa afirmação:

Para .

O estudante provou isso muito astutamente, pois enquanto a prova parece ser consistente, apenas alguém escrupuloso lhe dirá que na verdade não é: após a substituição, estamos dividindo zero por zero, uma operação que é sem sentido ou indefinida. Embora não possa ser provado algebricamente, pode ser provado analiticamente?

Considere esta tendência:

A tendência limita a função . Certamente, a tendência sugere que  deve ser igual a 1?

No entanto, isso não é verdade. A função se aproxima  como o valor de  abordagens , mas aproximar-se de um valor é diferente de alcançar e ser exatamente isso . Isso não “prova” que   De fato, no minuto em que substituímos  para , a prova se torna autodestrutiva.

Isso, na verdade, representa uma boa prova do porquê  não é igual , mas !

É indefinido

Não há consenso hoje sobre se o valor é  ou ; pode-se provar ambos com argumentos igualmente convincentes. Alguns matemáticos aceitaram que não tem valor definido, mas dependem do contexto em que estão sendo usados. No entanto, há outros matemáticos que repudiam essa conveniência e estão convencidos de que o valor é 1. Isso ocorre porque certas regras exigem que a equação seja necessariamente atribuída a. Por exemplo, a derivada da função exponencial se torna inválida se  não é considerado igual a .

Parece não haver resposta nem algebricamente nem analiticamente. Nós só nos deparamos com contradições, assim como acontece quando se tenta determinar o que é zero dividido por zero. A contradição essencial sendo: zero elevado para qualquer número positivo deve ser zero, mas qualquer número positivo elevado a zero deve ser um; não podemos ter as duas coisas. Os matemáticos descrevem esses problemas como sem sentido ou indefinidos.

Referências:

  1. Harvey Mudd College, Claremont, Califórnia
  2. A universidade de utah
  3. Wikipedia
O que é zero levantado para o poder do zero?
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