Como os números primos são usados ​​na criptografia?

1 ano ago
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Um hacker ou ladrão tentando decifrar um código de criptografia de 400 dígitos que obscurece os detalhes do seu cartão de crédito, com um computador que testa 1 milhão de combinações por segundo, levaria cerca de 10 para 194 segundos para realizar o feito. O Universo é 10 elevado ao poder 18 segundos de idade. Tanto quanto eu sei, quebrar esse código parece ser uma tarefa tediosa.

Quando Fermat, conhecido principalmente pelo Último Teorema de Fermat , descobriu um método sutil para determinar se um número é primo ou composto, seus pares não podiam compreender a utilidade da prova. A prova, durante a maior parte de sua existência, foi percebida como uma estátua é – bonita, mas totalmente inútil. Na verdade, as descobertas relativas a números primos eram veneradas apenas pela essência da descoberta – por revelar e compreender as complexidades ocultas na matemática, por resolver um quebra-cabeça curioso – exceto pelo fato de não terem contribuído com soluções substanciais para os problemas do real. mundo.

Arte de número primo Pure-mathematics-formulæ-blackboard

Na verdade, as descobertas relativas a números primos eram veneradas apenas pela essência da descoberta – por revelar e compreender as complexidades ocultas da matemática. (Crédito da foto: Wallpoper / Wikimedia Commons)

Isso ocorreu até 400 anos depois, quando a Internet nasceu, e a privacidade de seus bilhões de usuários, do conteúdo de e-mails confidenciais a transações em sites de comércio eletrônico, dependia exclusivamente de números primos.

Alçapão

Os números primos são comumente referidos como os “átomos” do reino numérico, pois são as unidades fundamentais e indivisíveis que compõem cada número. Por exemplo, 10 pode ser escrito como um produto de 2 e 5, dois números primos. Ou, 150 como um produto de 15 e 10, que pode ser ainda mais discriminado e escrito como o produto de 3, 5, 2 e 5 – todos os números primos. Ou, um número maior, como 126, 356, que é composto de números primos maiores 2,2,31 e 1019.

Esse processo de redução de um número composto para um produto de números primos é conhecido como fatoração primária. Para um computador, a multiplicação de dois números primos, cada um até 100 dígitos, não é que difícil, no entanto, factorizing o produto de volta em seus componentes é notoriamente difícil, mesmo para supercomputadores. É essa deficiência que Rivest, Shamir e Adleman exploraram para criar a criptografia RSA em 1977. No jargão da criptografia, essa unidirecionalidade é conhecida como “alçapão”.

Bloqueio digital de criptografia

Para um computador, multiplicar dois números primos, cada um com até 100 dígitos, não é tão difícil, no entanto, faturar o produto de volta aos seus componentes é notoriamente difícil, mesmo para supercomputadores. (Crédito da foto: Pixabay)

As chaves

Digamos que C é um produto de dois números primos P e Q. Ao criptografar, digamos, os detalhes do seu cartão de crédito, o número C é usado para gerar a chave “pública”. Essa chave, como o próprio nome sugere, está disponível ao público, o que significa que ela pode ser interceptada e lida por qualquer pessoa na rede. Os bancos são conhecidos por usar chaves públicas com 617 dígitos para proteger suas transações privadas.

Uma chave pública protege as informações privadas bloqueando-as em uma caixa cujas alças estão bem fechadas com um bloqueio de combinação de centenas de dígitos. A caixa em si pode ser acessada por qualquer pessoa, mas o conteúdo nela não pode. Enquanto um ladrão furtivamente pode roubar a caixa, ele não pode desbloqueá-lo sem conhecer a combinação, sem possuir a chave “privada”. Esta chave privada só é possuída pelo remetente e destinatário do conteúdo – o banco e você, o proprietário do cartão de crédito.

Mala de viagem

A chave privada constitui os dois números primos P e Q, que foram multiplicados para produzir C, a chave pública. Sem o conhecimento deles, o ladrão, para espiar, deve fatorar C, o que pode levar milhares de anos se os números tiverem centenas de dígitos. E confiem em mim, há um monte de grandes números primos. O maior que encontrei é 2 elevado à potência de 432.12.609 subtraído por 1 cuja primalidade foi verificada por um computador. Se você fosse escrever esse número em um papel de tamanho A4, você levaria um total de 4376 papéis, sim, uma pilha tremendamente espessa de 4.376 papéis , para completar a seqüência.

Por fim, a fatoração não é impossível; pode ser feito. É apenas um tempo exorbitante. Conforme a tecnologia avança, podemos conseguir processar números mais rapidamente. Computadores quânticos podem ser altamente bem sucedidos em conseguir isso, mas atualmente, há anos e provavelmente décadas, antes de se tornarem totalmente funcionais e onipresentes. Os maiores números computados por um fator drudante em seus primos foram, 2 aumentados para a potência 512 e, recentemente, 2 aumentados para a potência de 768 dígitos. As mensagens são criptografadas por 2 elevadas para as chaves públicas longas de 1024 dígitos, algumas até por um 2 elevado à chave pública longa de 2048 dígitos. Então, não se preocupe, seus textos bêbados estão em boas mãos.

Referências:

  1. Universidade da California, Berkeley
  2. CryptoFundamentals
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