Qual é a seqüência Fibonacci? Por que é tão especial?

Matemática é o estudo dos padrões. Embora todos os padrões tendam a estar em conformidade com as rigorosas regras da lógica, apenas alguns deles promovem a criatividade.É absurdo para mim como uma equação única de uma polegada pode momentaneamente possuir sua mão e levá-lo a desenhar as figuras mais requintadas. É notável como essas figuras complexas podem ser reduzidas a três símbolos e duas linhas paralelas. Eu uso o termo possuir porque, por esse momento, fazemos cegamente o que as equações comandam e confiem na profecia, começamos a marcar pontos, que no começo parecem desconectáveis.No entanto, continuamos a concordar. As ferramentas tiltam e a régua desagradável se recusa a ser levantada até a impressão no papel é essencialmente uma coleção de pontos infinitos; pontos pretos deixados pelo lápis e pontos brancos picados pela bússola. Os pontos infinitos se desbloqueiam rapidamente e obedientemente alinhados exatamente como a lógica os pedia. Enquanto as delícias minimalistas em um círculo, o abstraccionista se delicia em um poliedro.

Depois, há padrões numéricos, uma seqüência de números que periodicamente repete. Os seres humanos são inerentemente criaturas que procuram padrões. Na verdade, somos tão habilidosos em conectar os pontos que esses padrões não são exclusivos de pontos, mas também são estendidos a contextos. A aparência de um padrão ou figura com um vício ou uma virtude correlaciona a ocorrência dos dois. Eles têm sido a força motriz por trás dos cultos em uma miríade de sociedades.

Existe um elemento de piedade que as pessoas há muito associaram a determinadas figuras e grupos, comoThe Illuminati. Por outro lado, cientistas e matemáticos preferem associar uma forma de mistério intelectual a tais padrões. Considere oWow! Sinal,um padrão dealfabetosrecebidos inesperadamente entre os números pelo rádio telescópio Big Ear de Ohio, insinuando a atividade extraterrestre.

No entanto, existe também um padrão de números que incita não apenas o mistério, mas asantidade, pois ele emerge em lugares que nunca esperaria. Considere este padrão –13-3-2-21-1-1-8-5 –desenhado pelo curador do museu assassinado Jacques Saunière como uma dica para Tom Hanks noThe Da Vinci Code.

Números Fibonacci

A dica era uma porção pequena e confusa de números da seqüência de Fibonacci. A santidade surge de quão inócuos, porém influentes, são esses números. Um novo número no padrão pode ser gerado simplesmente adicionando os dois números anteriores. A partir de 0 e 1 (Fibonacci originalmente os listou a partir de 1 e 1, mas matemáticos modernos preferem 0 e 1), obtemos:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 … 610,987,1597 …

Fibonacci era conhecido por ser o matemático ocidental mais talentoso da Idade Média. Originalmente nascido como Leonardo Pisano, o nome Fibonacci foi cunhado por um historiador francês. O nome, agora bastante popular em todas as famílias, é curto para “Fillius Bonacci”, que se traduz em “filho de Bonaccio”. Bonaccio se refere ao pai dele.

Fibonacci ficou tremendamente fascinado pela matemática hindu-árabe. Os europeus naquela época continuavam a usar o extenso conjunto de números romanos, enquanto os hindus e árabes desfrutavam das virtudes do sistema de números hindu-árabe – números Base-10 que variam de 0-9 – por gerações. Ele decidiu trazer essas idéias para a Europa publicando-as em seu trabalho altamente reverenciadoLiber Abaci.

O livro tornou-se uma lenda. No entanto, sua popularidade foi eventualmente reduzida a apenas duas contribuições: primeiro, o sistema de números, sem o qual os avanços da matemática moderna não teriam sido possíveis; e segundo, um problema hipotético e irreal sobre a criação de coelhos. Os números de Fibonacci apresentaram-se pela primeira vez como a solução para este problema.

Os números misteriosos de Fibonacci

No entanto, parece haver uma inconsistência na matemática abstrata. Fazer matemática abstrata é como contar os triângulos noLouvre.Claro, é divertido fazer, mas é de qualquer utilidade? No entanto, é de nossa natureza investigar. A predisposição a modelar, seja matematicamente ou comportamentalmente, não pode ser negligenciada. Independentemente da sua inutilidade, nosso fascínio por padrões é suficientemente convincente para buscá-los.

Considere osPeríodos de Pisanoderivados da sequência de Fibonacci. Um Período Pisano, nomeado após o próprio Fibonacci, é um conjunto de números que ciclicamente se repetem. Os números são restos obtidos da divisão dos números de Fibonacci e um número real positivo.

Pode-se dividir a sequência comqualquernúmero para obter um padrão tão cíclico. Por exemplo, quando os números são divididos por 7, surgem um período de 16 números. Da mesma forma, o comprimento do período é 20 quando o divisor é 5. Mesmo dividindo em 1/3 resultados em uma fita longa de fragmentos idênticos e recorrentes. No entanto, os matemáticos não descobriram uma fórmula geral que prevê o comprimento de um período em que a seqüência é dividida por um número específico.

Outra perplexidade furiosa é o infinito triângulo de ângulo reto escondido na seqüência. Começando com 5, cada segundo número na sequência é a hipotenusa de um triângulo de ângulo reto cujo lado mais longo é a soma de todos os lados do triângulo precedente e o lado mais curto é a diferença entre o número ignorado e o lado mais curto do precedente triângulo. Uma explicação pictórica ajudará esses triângulos a serem melhor compreendidos.

A utilidade da matemática abstrata tem sido o principal argumento no debate questionando se a matemática foi inventada ou descoberta. Existem teorias que ilustram a maior ordem de genialidade matemática e rigor, mas estão completamente isoladas do mundo real. Por exemplo, Newton inventou o cálculoparticularmentepara determinar a equação da trajetória que a Terra seguia ao redor do Sol. Claro, o cálculo acabou por ser lucrativo em uma miríade de outros domínios também, mas podemos dizer o mesmo sobrea Hipótese de Riemann?

No entanto, existem casos raros em que matemática abstrata altamente esotérica se torna aplicável. Por exemplo, Riemann desenvolveu seus absurdos conceitos de geometria curvada na década de 1850, o que parecia inaplicável até que Einstein os usasse para redescobrir as leis da gravidade em suaTeoria Geral da Relatividade. A imprevisibilidade desses casamentos matemáticos ainda nos perturba.

Este é o caso da natureza mística dos números de Fibonacci também. Apesar de serem descobertos na Idade Média, eles foram descobertos e redescobertos, para a perplexidade de todos, em lugares que nunca esperávamos. Nosso fascínio com os números de Fibonacci se estende até tal ponto que uma revista inteira é dedicada às suas peculiaridades, chamadoFibonacci Quarterly.

Considere o triângulo de Pascal. Quando Pascal foi consultado por um jogador sobre as chances dos resultados de um dado e a natureza das apostas, eleinventoua teoria da probabilidade para resolver esses problemas. O triângulo de Pascal é um triângulo limpo formado por coeficientes binomiais. O triângulo atua como uma tabela a que se refere ao expandir a equação binomial.

No entanto, se você desenhasse diagonais movendo-se para baixo do triângulo e somando os números que residem em cada diagonal individual, então a série de números equiparados a cada diagonal representam, como você deve ter imaginado, os números de Fibonacci. A teoria da probabilidade foi fundada 400 anos após o lançamento doLiber Abaci.

Ou, considere o conjunto de Mandelbrot, uma função matemática que pode ser limitada por um belo diagrama desenhado no plano complexo. O diagrama parece ser uma folha em forma de coração com pequenos botões nas bordas. Esses botões estão cobertos de espinhos incrivelmente finos. O diagrama representa umfractal, uma estrutura cuja parte única é composta porsi mesma.O que significa que, se você continuasse aumentando, você acharia que a estrutura se repete em um loop infinito.

Ao ampliar os botões nas bordas, vemos que o botão aumenta para a folha original e emergem três novos botões nas suas bordas. Se alguém continuasse aumentando, ele assistiria a essa procissão para sempre. No entanto, enquanto observamos cada vez mais profundamente, observamos que o número de espinhos em cada novo botão aumenta. O incremento em números imita um certo padrão; É a seqüência Fibonacci! Quem poderia ter previsto isso?

A sequência também aparece na economia e no rastreamento do pedigree das abelhas do sexo masculino. É amplamente utilizado em ciência da computação, onde é usado para gerar números aleatoriamenteidentificáveispor algoritmos denominados Geradores de números Pseudorandom. Eu uso percebivelmente porque os números gerados não sãoverdadeiramentealeatórios; eles sempre dependem de uma entrada anterior.

Também é usado em algoritmos de classificação em que dividir a área em proporções que são dois números Fibonacci consecutivos, e não duas partes iguais, torna a caça de um local para as operações matemáticas mais simples – adição e subtração. Considerando que, a classificação binária (dividindo em duas partes iguais) requer o uso de multiplicação, divisão e transferência de bits. A sequência também é usada para derivar várias outras identidades matemáticas importantes. No entanto, a sua aplicação mais importante é encontrada em nossos jardins.

A espiral Fibonacci

Os gregos sempre ponderaram se existe uma descrição factual da beleza, uma propriedade ouessênciainata , como eles a chamavam, que não deixaria espaço para a subjetividade. Por exemplo, um triângulo pode ser definido como qualquer corpo de três lados em que a soma de todos os três ângulos formados entre esses lados não deve somar mais ou menos de 180 graus. O crescimento de outro lado entre dois vértices, por menor que seja, eo corpo deixa de ser um triângulo. Poderia haver um critério exclusivo semelhante para julgar a beleza de uma margarida?

Os gregos finalmente descobriram essa essência, embora não fossem para retângulos. Segundo eles, a maneira mais linda de dividir uma linha em duas partes é dividi-las em uma proporção tal que a parte mais longa dividida pela parte mais curta é igual ao todo dividido pela parte mais longa. Eles chamaram isso deRácio de Ouro,e seu valor é 1.618 …

Consequentemente, eles basearam sua arte e arquitetura nesta proporção. Um exemplo é a arquitetura doParthenon,cujos lados estão no Rácio de Ouro. Mesmo os artistas renascentistas estavam em causa com o uso dessa relação. Uma infinidade de suas obras de arte baseia-se na relação para amplificar seu apelo estético.

O que esse valor precioso tem a ver com os números Fibonacci? Kepler observou uma vez que “como 5 é para 8, assim é 8 a 13, praticamente, e como 8 é para 13, assim é 13 a 21 quase.” A proporção de dois números de Fibonacci consecutivos é aproximadamente igual a * coxas iniciais incipientes * proporção áurea! Isso liga os números de Fibonacci a uma das espirais mais reconhecidas na Internet.

Os quadrados dos números de Fibonacci podem ser escritos assim:

1,1,4,9,25,64,169,441 …

Nada misterioso? Vamos juntar um monte deles juntos:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Olhe mais perto e você notará que 6 é o produto de 2 e 3, 15 um produto de 3 e 5, e 40 um produto de 5 e 8. Uma relação conjugal entre os números de Fibonacci e a razão de ouro torna-se notável – os dois números a constituição destes produtos são números Fibonacci consecutivos! Agora, vamos fazer a soma acima ilustrada. Cada número quadrado pode ser representado por um quadrado cujo lado muda para ser o mesmo número de unidades que está sendo quadrado.

Assim, o quadrado de um é representado por um quadrado de uma unidade lateral. Este quadrado é então adicionado ao quadrado seguinte na sequência – outro quadrado do lado uma unidade. Em seguida, o retângulo 1 × 2 é adicionado a um quadrado de duas unidades laterais, que depois é adicionado a um quadrado de três unidades laterais e assim por diante. Percebemos que os produtos eram realmente as áreas desses retângulos emergentes.

Como os produtos eram números Fibonacci consecutivos, pode-se discernir que a proporção dos dois lados de um único retângulo é a proporção dourada! À medida que o número de somas se aproxima do infinito, a proporção de lados do retângulo em crescimento histórico se aproxima do valor exato da relação. Uma curva que emana do centro e que passa pelos cantos de cada quadrado gradualmente cresce em uma espiral – aespiral dourada, desviando-se constantemente em um ângulo chamadoângulo dourado.

A espiral dourada pode ser encontrada em uma miríade de lugares na natureza, desde a forma da nossa galáxia até uma concha nautilus. Governa o arranjo de cones de pinheiro e os frutos de um abacaxi. Minha instância favorita é a ocorrência do padrão no arranjo de sementes desordenadas no centro de um girassol. No entanto, usar o termo “desordem” seria negligentemente ignorar a magnitude do rigor que a natureza implementou aoorganizaressas sementes.

As sementes não estão alinhadas como os raios de uma roda; eles diminuem gradualmente para fora. O ângulo de digressão é o ângulo dourado. Parece que a natureza voluntariamente optou por essa relação porque dividir o círculo por um número irracional não causou semente para ter um vizinho no mesmo ângulo do centro. Isso resultou em embalagens altamente eficientes, deixando quase nenhum espaço para espaço negativo. O número de espirais, você pergunta? 55 em uma direção, 89 na outra. Ambos os números de Fibonacci, é claro!

Referências:

1. Universidade de Temple
2. Brilliant.org