A prova mais surpreendente na teoria das cordas: como a soma 1 + 2 + 3 + 4 + … é igual a -1/12?
O que é 1 + 1? Pfft fácil – é 2. O que é 2 + 3? Bem, um pouco mais difícil, mas é possível, é 5. Em seguida, o que é 5 + 6? Com mais dedos para contar, uma terceira mão dirá que é 11. Tudo bem e bom. Agora, e se eu lhe pedisse contar infinitos dedos amarrados a mãos infinitas, ou de outra forma, a soma de todos os inteiros positivos 1 + 2 + 3 + 4 … até o infinito? E se eu provar com sucesso que a resposta, e você pode querer se sentar para esta … é -1/12?Como a soma dos números inteiros pode ser uma fração? Como a soma dos números positivos pode ser um número negativo? A prova surpreendente e completamente não intuitiva foi previamente escrita por matemáticos de elite, como Ramanujan.
O Universo não faz sentido!
A prova é freqüentemente encontrada naTeoria das Cordas, uma teoria matemática extremamente perversa e esotérica, segundo a qual o Universo existe em 26 dimensões. A teoria é um concorrente promissor por ser coroado como aTeoria de Tudo. Então, deve ser verdade … certo?
A prova
Há muitas maneiras de provar isso, mas deixe-me referir-me à maneira mais simples em que me deparei. Considere primeiro esta soma S (1) de 1’s.
S (1) = 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1 …
As elipses implicam que a soma se estende até o infinito. O resultado desta soma depende de onde deixamos de adicionar ou subtrair a 1s. Se pararmos em um 1 par, a soma se esmaexa para zero, enquanto, quando paramos em um 1 ímpar, a soma é igual a 1. Essa incerteza é perturbadora. Podemos livrar-se disso simplesmente tomando a média de ambos os extremos, que é ½.
Em seguida, considere estas duas somas S (2) e S:
S (2) = 1-2 + 3-4 + 5-6 …
S = 1 + 2 + 3 + 4 + …
Agora, adicione S (2) a si mesmo, mas com um leve toque. Adicione o outro S (2) deslocando os números um lugar para a direita.
2S (2) = 1-2 + 3-4 …
+ 1-2 + 3-4 …
Este cálculo resultaria claramente na série 1-1 + 1-1 + 1 … que é, se você estiver prestando atenção, S (1), cujo valor, como mostramos acima, é ½. Então, 2S (2) é 1/2, de modo que o valor de S (2) é ¼.
Em seguida, subtrai S (2) de S, o que dá:
1 + 2 + 3 + 4 + … – (1-2 + 3-4 + …) = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 …
O que também pode ser escrito como 4 vezes (1 + 2 + 3 + 4 …) ou 4S. Agora, nós temos o chapéu, precisamos apenas apontar e lançar o feitiço.
Mostramos que SS (2) = 4S, mas S (2) é igual a ¼. O que significa -3S (trocar S (2) e 4S) é igual a ¼. A multiplicação simples coloca a cereja em cima e conclui que S = -1/12. Ou, 1 + 2 + 3 + 4 … = -1/12!
SS (2) = 4S
∴ -3S = 1/4 (de S (2) = 1/4)
Ou, S = -1/12
Como isso é possível?
A prova apresentada em umvídeopublicado pelo canal do YouTube,numérica,intituladoASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12.O físico Edmund Copeland, o que prova isso no vídeo, depois de realizar a façanha, admite extaticamente que “parece-se com a matemática hocus pocus”.
Ele acrescenta: “intuitivamente, você quer parar a seqüência, mas no instante em que você pára …” ele deixa cair a mão, imitando uma costeleta de karatê, gesticulando para que não funcionasse. Mesmo somando a série a um googolplex (10 elevado ao poder 10, que é ele mesmo elevado ao poder 100) não resultaria em -1/12; deve ser somado necessariamente ao infinito.
A surpreendente prova ilustrada em simplicidade que se aproxima da evidência permitiu que o vídeo reunisse cerca de 1,5 milhão de visualizações no primeiro mês em que foi publicado. No entanto, também provocou uma indignação entre os matemáticos, já que seu título é ostensivo e a prova igualmente desviada.
Infinity tem problemas matemáticos desde tempos imemoriais. (Crédito: Anthony Jauneaud / Flickr)
A matemática lida com o que é chamado de uma série infinita, uma soma que continua para sempre e sempre. As somas podem ser agrupadas em três categorias – convergentes, oscilantes e divergentes. Uma série convergente é uma soma que converge para um valor finito, como 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … que converge para aproximadamente 2. Uma série oscilante é uma soma cujo resultado vacila entre dois valores . Esta seria a primeira série S (1) que encontramos – 1-1 + 1-1 + 1-1 …
E, finalmente, uma série divergente é uma soma que diverge progressivamente para um valor maior e imensurável, ou seja, infinito. A série 1 + 2 + 3 + 4 + … é uma soma divergente porque se torna progressivamente maior e maior até atingir o infinito. Se é assim, ou, pelo menos, parece ser lógico, como Ed Copeland conseguiu convergê-lo, e ainda mais … para um númeronegativo, como por alguma magia sutil?
A magia sutil é o termo apropriado para definir o vídeo. É uma ilusão onde os detalhes essenciais são perfeitamente varridos sob o tapete. Considere a primeira série em que a prova parece dobradiça – 1-1 + 1-1 + 1 … O narrador aqui faz uma hipótese de que o valor dessa soma pode ser calculado em média para ½. Não é totalmente errado, mas dolorosamente enganador.
Matemáticos como Euler deploraram a incerteza de somas oscilantes e divergentes. Para se livrar de que, eles inventaram um argumento que de alguma forma os quantificaria ou os “tornaria” convergentes. Essa feitiçaria decorre de um ramo de matemática complexa conhecida comocontinuação analítica.No entanto, o método simplesmente transmuta uma soma divergente ou oscilante em uma soma escassa e diferente.
Isso significa que não estamos somando a mesma soma, mas uma soma que se assemelha bastante à soma original. Além disso, a nova soma não é igual, digamos 1/2, no sentido usual deigual,mas sim implica que a soma éatribuídaouassociadaao valor ½. É o valor da série modificada,fracamenteconvergente que atribuímos à nossa série divergente. Assim, a suposição S (1) = ½ não é tão trivial quanto eu fiz que apareça acima.
Da mesma forma, cada soma usada na prova é convenientemente “convergente” com a ajuda desse método, mesmo a soma final – 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12. No entanto, o método assume uma complexidade superior quando aplicado a ele.
A física
Mas e quanto ao uso da prova naTeoria das Cordasque mencionei no prelúdio? O vídeo zooms em uma página no livro de texto de dois volumesString Theorypor Joseph Polchinski, onde a soma é citada como uma fórmula. A prova é, de fato, usada em problemas físicos, como oefeito Casimirou ao calcular a dimensionalidade do Universo na Teoria das Cordas Bosônicas. A sua viabilidade torna viável?
O efeito Casimir é um fenômeno observado entre duas placas condutoras não carregadas. De acordo com isso, existe uma força atrativa entre essas placas devido à presença de partículas virtuais criadas por flutuações quânticas aleatórias. Problemas como estes geralmente implicam somas divergentes. Na verdade, a solução do efeito Casimir envolve a mesma soma 1 + 2 + 3 + 4 + …
Isso implicaria que existe uma quantidade infinita de energia entre os pratos, o que, obviamente, é sem sentido. Ou, ocorre um “amortecimento”, pelo qual a energia se torna finita. O amortecimento ou convergência é análogo à convergência alcançada pela continuação analítica, exposta acima.
Mesmo o livro didático não usa explicitamente um sinal de igualdade, mas sim uma flecha que aponta o somatório para -1/12. O “amortecimento” é o reconhecimento do fato de que uma força desconhecida está em ação. Claro, a verdadeira soma de todos os números naturais não é uma fração negativa.
